Translation of "Rationale zahlen" in English
																						Es
																											kann
																											sich
																											somit
																											auch
																											um
																											rationale
																											Zahlen
																											handeln.
																		
			
				
																						They
																											may
																											also
																											be
																											rational
																											numbers.
															 
				
		 EuroPat v2
			
																						Ganze
																											Zahlen
																											sind
																											eine
																											Teilmenge
																											rationale
																											Zahlen.
																		
			
				
																						Integers
																											are
																											a
																											subset
																											of
																											rational
																											numbers.
															 
				
		 ParaCrawl v7.1
			
																						Jawohl,
																											das
																											Assoziativgesetz
																											ist
																											erfüllt,
																											denn
																											für
																											beliebige
																											rationale
																											Zahlen
																											gilt:
																		
			
				
																						Yes,
																											which
																											is
																											associative
																											law
																											fulfilled,
																											because
																											for
																											any
																											rational
																											numbers
																											applies:
															 
				
		 ParaCrawl v7.1
			
																						Entsprechend
																											wird
																											die
																											Vereinfachung
																											für
																											rationale
																											Zahlen
																											von
																											der
																											Optionsvariablen
																											gammalim
																											kontrolliert.
																		
			
				
																						The
																											simplification
																											for
																											rational
																											numbers
																											is
																											controlled
																											by
																											gammalim
																											to
																											avoid
																											internal
																											overflow.
															 
				
		 ParaCrawl v7.1
			
																						Ganze
																											Zahlen
																											und
																											rationale
																											Zahlen
																											sind
																											spezielle
																											Fälle
																											algebraischer
																											Zahlen.
																		
			
				
																						Integers
																											and
																											rational
																											numbers
																											are
																											special
																											cases
																											of
																											algebraic
																											numbers.
															 
				
		 ParaCrawl v7.1
			
																						Scheme:
																											R5RS
																											erlaubt,
																											und
																											R6RS
																											verlangt,
																											dass
																											ganze
																											und
																											rationale
																											Zahlen
																											Langzahlarithmetik
																											unterstützen.
																		
			
				
																						Scheme:
																											R5RS
																											encourages,
																											and
																											R6RS
																											requires,
																											that
																											exact
																											integers
																											and
																											exact
																											rationals
																											be
																											of
																											arbitrary
																											precision.
															 
				
		 WikiMatrix v1
			
																						Hinweis:
																											bftorat
																											hat
																											keinen
																											Einfluss
																											auf
																											die
																											Umwandlung
																											in
																											rationale
																											Zahlen
																											mit
																											der
																											Funktion
																											rationalize
																											.
																		
			
				
																						Note:
																											bftorat
																											has
																											no
																											effect
																											on
																											the
																											transformation
																											to
																											rational
																											numbers
																											with
																											the
																											function
																											rationalize
																											.
															 
				
		 ParaCrawl v7.1
			
																						In
																											der
																											Geometrie
																											versteht
																											man
																											unter
																											einem
																											heronischen
																											Dreieck
																											ein
																											Dreieck,
																											beidem
																											die
																											Seitenlängen
																											und
																											der
																											Flächeninhalt
																											rationale
																											Zahlen
																											sind.
																		
			
				
																						In
																											geometry,
																											a
																											Heronian
																											triangle
																											is
																											a
																											triangle
																											that
																											has
																											side
																											lengths
																											and
																											area
																											that
																											are
																											all
																											integers.
															 
				
		 Wikipedia v1.0
			
																						Die
																											mathematische
																											Disziplin
																											der
																											diophantischen
																											Approximation,
																											benannt
																											nach
																											Diophantos
																											von
																											Alexandria,
																											beschäftigt
																											sich
																											mit
																											der
																											Annäherung
																											reeller
																											Zahlen
																											durch
																											rationale
																											Zahlen.
																		
			
				
																						In
																											number
																											theory,
																											the
																											field
																											of
																											Diophantine
																											approximation,
																											named
																											after
																											Diophantus
																											of
																											Alexandria,
																											deals
																											with
																											the
																											approximation
																											of
																											real
																											numbers
																											by
																											rational
																											numbers.
															 
				
		 Wikipedia v1.0
			
																						Mit
																											Barry
																											Mazur
																											bewies
																											er
																											1984
																											die
																											Hauptvermutung
																											der
																											Iwasawa-Theorie
																											über
																											rationale
																											Zahlen,
																											welche
																											er
																											danach
																											auf
																											total
																											reelle
																											Körper
																											erweiterte.
																		
			
				
																						He
																											further
																											worked
																											with
																											Barry
																											Mazur
																											on
																											the
																											main
																											conjecture
																											of
																											Iwasawa
																											theory
																											over
																											the
																											rational
																											numbers,
																											and
																											soon
																											afterward,
																											he
																											generalised
																											this
																											result
																											to
																											totally
																											real
																											fields.
															 
				
		 WikiMatrix v1
			
																						Wer
																											die
																											komplexen
																											Zahlen
																											noch
																											nicht
																											kennt,
																											denke
																											einfach
																											an
																											reelle
																											und
																											rationale
																											Zahlen,
																											das
																											ist
																											das,
																											womit
																											wir
																											normalerweise
																											bewusst
																											zu
																											tun
																											haben.
																		
			
				
																						If
																											you
																											do
																											not
																											know
																											complex
																											numbers,
																											just
																											think
																											of
																											real
																											or
																											even
																											rational
																											numbers,
																											which
																											is
																											the
																											most
																											common
																											case
																											anyway.
															 
				
		 ParaCrawl v7.1
			
																						Die
																											Kardinalität
																											der
																											algebraischen
																											Zahlen
																											ist
																											0,
																											die
																											selben
																											wie
																											die
																											natürlichen
																											Zahlen
																											(nichtnegative
																											ganze
																											Zahlen),
																											ganze
																											Zahlen
																											und
																											rationale
																											Zahlen.
																		
			
				
																						The
																											cardinality
																											of
																											the
																											algebraic
																											numbers
																											is
																											?0,
																											the
																											same
																											as
																											the
																											natural
																											numbers
																											(nonnegative
																											integers),
																											integers
																											and
																											rational
																											numbers.
															 
				
		 ParaCrawl v7.1
			
																						Was
																											sind
																											rationale
																											Zahlen?
																		
			
				
																						What
																											are
																											rational
																											numbers?
															 
				
		 ParaCrawl v7.1
			
																						Diese
																											beschränken
																											die
																											Werkzeuge
																											zur
																											Verfügung,
																											so
																											dass
																											nur
																											rationale
																											Zahlen
																											mit
																											Nenner
																											begrenzt
																											auftreten,
																											können
																											in
																											einem
																											Nachweis,
																											der
																											auch
																											nicht
																											verwenden
																											können,
																											Differenzierung
																											und
																											Integration
																											und
																											anderen
																											Werkzeugen
																											unendlich.
																		
			
				
																						These
																											restrict
																											the
																											tools
																											available
																											so
																											that
																											only
																											rational
																											numbers
																											with
																											bounded
																											denominators
																											can
																											occur
																											in
																											a
																											proof,
																											which
																											also
																											cannot
																											use
																											differentiation
																											and
																											integration
																											and
																											other
																											infinite
																											tools.
															 
				
		 ParaCrawl v7.1
			
																						Da
																											wir
																											rationale
																											Zahlen
																											der
																											Form
																											p/q
																											betrachten,
																											sollten
																											Sie
																											1/1
																											schreiben.
																		
			
				
																						Since
																											we
																											regard
																											rational
																											numbers
																											of
																											the
																											form
																											p/q,
																											you
																											should
																											write
																											1/1.
															 
				
		 ParaCrawl v7.1
			
																						In
																											diesem
																											Artikel
																											Fine
																											bewiesen,
																											dass
																											hier
																											gibt
																											es
																											rationale
																											Zahlen
																											a
																											und
																											b,
																											die
																											nie
																											Seiten
																											einer
																											rationalen
																											Dreieck,
																											und
																											es
																											gibt
																											auch
																											eine
																											rationale
																											Dreieck
																											von
																											einem
																											beliebigen
																											rationalen
																											Bereich.
																		
			
				
																						In
																											this
																											article
																											Fine
																											proved
																											that
																											here
																											exist
																											rational
																											numbers
																											a
																											and
																											b
																											that
																											are
																											never
																											sides
																											of
																											a
																											rational
																											triangle,
																											and
																											also
																											there
																											exists
																											a
																											rational
																											triangle
																											of
																											any
																											given
																											rational
																											area.
															 
				
		 ParaCrawl v7.1
			
																						Mit
																											den
																											Koordinaten
																											a
																											1
																											und
																											a
																											2,
																											bei
																											denen
																											es
																											sich
																											um
																											reelle,
																											rationale
																											oder
																											ganze
																											Zahlen
																											handeln
																											kann,
																											kann
																											jeder
																											Punkt
																											in
																											dem
																											betreffenden
																											Koordinatensystem
																											durch
																											einen
																											Vektor
																											r
																											gemäß
																											einer
																											Gleichung
																											EPMATHMARKEREP
																											beschrieben
																											werden.
																		
			
				
																						With
																											the
																											coordinates
																											a
																											1
																											and
																											a
																											2
																											which
																											may
																											be
																											real,
																											rational
																											or
																											integer
																											numbers,
																											any
																											point
																											in
																											the
																											corresponding
																											coordinate
																											system
																											may
																											be
																											described
																											by
																											a
																											vector
																											r
																											according
																											to
																											an
																											equation
																											r=a
																											1
																											e
																											1
																											+a
																											2
																											e
																											2
																											(1)
															 
				
		 EuroPat v2
			
																						Die
																											Indices
																											a,
																											b,
																											c
																											und
																											d
																											sind
																											dementsprechend
																											nicht
																											natürliche
																											Zahlen,
																											sondern
																											rationale
																											Zahlen.
																		
			
				
																						The
																											indices
																											a,
																											b,
																											c
																											and
																											d
																											are
																											accordingly
																											not
																											natural
																											numbers
																											but
																											rational
																											numbers.
															 
				
		 EuroPat v2
			
																						In
																											der
																											nachfolgend
																											betrachteten
																											Ausführungsform
																											der
																											Erfindung
																											werden
																											den
																											Datenelementen
																											der
																											Datenstruktur
																											in
																											aufsteigender
																											Reihenfolge
																											der
																											Datenelement-Positionen
																											Positionscodes
																											zugewiesen,
																											die
																											ebenfalls
																											in
																											aufsteigender
																											Reihenfolge
																											angeordnete
																											rationale
																											Zahlen
																											in
																											einem
																											vorgegebenen
																											Wertebereich
																											sind.
																		
			
				
																						In
																											the
																											embodiment
																											of
																											the
																											present
																											invention
																											considered
																											in
																											the
																											following,
																											position
																											codes
																											are
																											associated
																											with
																											the
																											data
																											elements
																											of
																											the
																											data
																											structure
																											in
																											ascending
																											order
																											of
																											the
																											data
																											element
																											positions,
																											which
																											position
																											codes
																											also
																											include
																											rational
																											numbers
																											in
																											a
																											predetermined
																											value
																											range
																											arranged
																											in
																											ascending
																											order.
															 
				
		 EuroPat v2
			
																						Es
																											ist
																											erfindungsgemäß
																											vorteilhaft,
																											die
																											Gewichtsverhältnisse
																											von
																											Emulgator
																											A
																											zu
																											Emulgator
																											B
																											zu
																											Coemulgator
																											C
																											(A:
																											B:
																											C)
																											wie
																											a:
																											b:
																											c
																											zu
																											wählen,
																											wobei
																											a,
																											b
																											und
																											c
																											unabhängig
																											voneinander
																											rationale
																											Zahlen
																											von
																											1
																											bis
																											5,
																											bevorzugt
																											von
																											1
																											bis
																											3
																											darstellen
																											können.
																		
			
				
																						It
																											is
																											advantageous
																											according
																											to
																											the
																											invention
																											to
																											choose
																											the
																											weight
																											ratios
																											of
																											emulsifier
																											A
																											to
																											emulsifier
																											B
																											to
																											coemulsifier
																											C
																											(A:B:C)
																											as
																											a:b:c,
																											wherein
																											a,
																											b
																											and
																											c,
																											independently
																											of
																											one
																											another,
																											may
																											represent
																											rational
																											numbers
																											from
																											1
																											to
																											5,
																											preferably
																											from
																											1
																											to
																											3.
															 
				
		 EuroPat v2
			
																						Die
																											Darstellung
																											von
																											Ringen
																											und
																											Körpern
																											(ganze,
																											rationale,
																											reelle
																											Zahlen,
																											etc.)
																											kann
																											mit
																											der
																											latex.blackboard_bold
																											Methode
																											verändert
																											werden.
																		
			
				
																						The
																											way
																											common
																											rings
																											and
																											fields
																											(integers,
																											rational,
																											reals,
																											etc.)
																											are
																											typeset
																											can
																											be
																											controlled
																											by
																											the
																											latex.blackboard_bold
																											method.
															 
				
		 ParaCrawl v7.1
			
																						Es
																											ist
																											schwierig,
																											eine
																											objektive
																											und
																											rationale
																											Weise
																											Zahlen
																											auf
																											den
																											Menschen
																											zu
																											bringen,
																											die
																											Arbeitsplätze
																											unter
																											diesen
																											verschiedenen
																											Bedingungen
																											suchen
																											könnten.
																		
			
				
																						It
																											is
																											difficult
																											in
																											an
																											objective
																											and
																											rational
																											way
																											to
																											put
																											numbers
																											on
																											the
																											people
																											who
																											might
																											seek
																											jobs
																											under
																											these
																											various
																											conditions.
															 
				
		 ParaCrawl v7.1
			
																						Während
																											Scheme
																											rationale
																											Zahlen
																											als
																											einen
																											negativen
																											Typ
																											darstellen
																											kann,
																											sind
																											musikalische
																											gesehen
																											'2/4
																											'
																											und
																											'1/2
																											'
																											nicht
																											das
																											selbe,
																											sodass
																											man
																											zwischen
																											beiden
																											unterscheiden
																											können
																											muss.
																		
			
				
																						While
																											Scheme
																											can
																											represent
																											rational
																											numbers
																											as
																											a
																											native
																											type,
																											musically
																											'2/4
																											'
																											and
																											'1/2
																											'
																											are
																											not
																											the
																											same,
																											and
																											we
																											need
																											to
																											be
																											able
																											to
																											distinguish
																											between
																											them.
															 
				
		 ParaCrawl v7.1
			
																						Maxima
																											vereinfacht
																											die
																											Betafunktion
																											für
																											positive
																											ganze
																											Zahlen
																											a
																											und
																											b
																											sowie
																											rationale
																											Zahlen,
																											deren
																											Summe
																											a
																											+
																											b
																											eine
																											ganze
																											Zahl
																											ist.
																		
			
				
																						Maxima
																											simplifies
																											the
																											beta
																											function
																											for
																											positive
																											integers
																											and
																											rational
																											numbers,
																											which
																											sum
																											to
																											an
																											integer.
															 
				
		 ParaCrawl v7.1
			
																						Eine
																											Unterscheidung
																											erfolgt
																											in
																											dimensionslose
																											Messgrößen
																											wie
																											den
																											Winkel,
																											deren
																											Werte
																											unmittelbar
																											als
																											rationale
																											Zahlen
																											zu
																											messen
																											sind,
																											und
																											dimensionsbehaftete
																											Messgrößen
																											wie
																											die
																											Dichte,
																											deren
																											Werte
																											jeweils
																											mit
																											Werten
																											derselben
																											Dimension
																											zu
																											vergleichen
																											sind.
																		
			
				
																						A
																											distinction
																											is
																											made
																											between
																											dimensionless
																											measurands
																											such
																											as
																											the
																											angle,
																											whose
																											values
																											are
																											measured
																											directly
																											as
																											rational
																											numbers,
																											and
																											dimensioned
																											measurands
																											such
																											as
																											density,
																											whose
																											values
																											are
																											comparable
																											to
																											the
																											values
																											of
																											the
																											same
																											dimension.
															 
				
		 ParaCrawl v7.1